Dénombrer dans les problèmes concrets

Les formules ne servent que si l'on sait les brancher sur un énoncé. Voici les configurations qui reviennent le plus, et la manière de les reconnaître.

Les anagrammes avec répétitions

Combien d'anagrammes du mot ANAGRAMME ?

9 lettres : A×3, M×2, N, G, R, E

        9!             362 880
   ----------   =   -----------   =  30 240
    3! × 2!             12

La règle : on divise n! par la factorielle des effectifs de chaque lettre répétée, car permuter deux A identiques ne produit pas un mot différent.

Les chemins sur une grille

Combien de chemins de A à B, en n'allant que vers la droite ou vers le haut ?

    B
    ^ +---+---+---+
    | |   |   |   |          Chaque chemin est une suite de
    2 +---+---+---+          5 déplacements : 3 « droite » et 2 « haut ».
    | |   |   |   |
    A +---+---+---+          Choisir le chemin, c'est choisir dans quelles
        3 (droite)           2 étapes sur 5 on monte :  C(5,2) = 10

Toute la difficulté d'un problème de chemins se ramène à cette traduction : un chemin est un choix de positions dans une séquence.

Les tirages simultanés

Un tirage simultané est un tirage sans ordre et sans remise — donc une combinaison.

Une urne contient 12 boules : 5 rouges et 7 noires. On en tire 3 simultanément.

nombre de tirages possibles    : C(12,3) = 220
tirages avec exactement 2 rouges : C(5,2) × C(7,1) = 10 × 7 = 70

                              70
   P(exactement 2 rouges) = ------ ≈ 0,318
                             220

Le schéma à retenir : on choisit séparément dans chaque catégorie, puis on multiplie — c'est encore le principe multiplicatif.

Passer par le contraire

Dans le même tirage, quelle est la probabilité d'obtenir au moins une rouge ?

directement : exactement 1, 2 ou 3 rouges       ->  trois calculs
par le contraire : aucune rouge = 3 noires      ->  C(7,3) = 35

                        35
   P(au moins une) = 1 - ---- = 1 - 0,159 ≈ 0,841
                        220

Dès qu'un énoncé dit « au moins un », le contraire est presque toujours plus court.

La méthode générale

1. l'ordre compte-t-il ?        -> arrangement ou combinaison
2. peut-on répéter ?            -> puissance ou factorielle
3. y a-t-il des catégories ?    -> choisir dans chacune, puis MULTIPLIER
4. l'énoncé dit « au moins » ?  -> passer par le CONTRAIRE

Un contrôle de vraisemblance

Un dénombrement se vérifie souvent par ordre de grandeur : un résultat doit rester inférieur au nombre total de cas, et une probabilité doit tomber entre 0 et 1. Une somme de probabilités qui dépasse 1 signale presque toujours un double comptage — le même cas compté dans deux catégories.

En résumé

• Anagrammes : n! divisé par la factorielle des effectifs répétés.
• Chemins sur une grille : choisir les étapes « haut » parmi le total → une combinaison.
• Tirage simultané : sans ordre ni remise → C(n,k).
• Plusieurs catégories : on choisit dans chacune puis on multiplie.
• « Au moins un » : passer par l'événement contraire.
• Une probabilité > 1 trahit un double comptage.