Arrangements et combinaisons

Deux questions suffisent à choisir la bonne formule : l'ordre compte-t-il ? et peut-on répéter ?

Les arrangements : avec ordre, sans répétition

Choisir k objets parmi n, en tenant compte de l'ordre et sans répétition, se note A(n,k) :

A(n,k) = n × (n-1) × ... × (n-k+1)  =  ---------
                                        (n - k)!
                 k facteurs

Un podium (or, argent, bronze) parmi 10 athlètes :

A(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 podiums possibles

L'ordre est essentiel ici : « Alice or, Bob argent » et « Bob or, Alice argent » sont deux podiums différents.

Les combinaisons : sans ordre, sans répétition

Choisir k objets parmi n sans tenir compte de l'ordre se note C(n,k), ou parfois (n choose k) :

              A(n,k)             n!
   C(n,k) = ---------  =  ---------------
                k!          k! (n - k)!

On divise A(n,k) par k! parce que les k! façons d'ordonner une même sélection ne comptent qu'une seule fois.

Un comité de 3 personnes parmi 10 (sans rôle attribué) :

              720
   C(10,3) = ------ = 120 comités
                6

Six fois moins que les podiums : 3! = 6 ordres possibles pour chaque groupe de trois.

Le tableau des quatre cas

                      ORDRE COMPTE            ORDRE NE COMPTE PAS
                 ---------------------      ----------------------
avec répétition       n^k                     (cas plus rare)
                  (codes, tirages             combinaisons avec
                   avec remise)                répétition

sans répétition   A(n,k) = n!/(n-k)!          C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
                  (podium, classement)        (comité, main de cartes)

En pratique, les trois cas de gauche et de bas couvrent l'écrasante majorité des exercices.

La question à se poser

« Si j'échange deux objets choisis, obtiens-je la MÊME situation ? »

   OUI  ->  l'ordre ne compte pas  ->  COMBINAISON
   NON  ->  l'ordre compte         ->  ARRANGEMENT

Main de 5 cartes      : échanger deux cartes de la main -> même main   -> C
Code à 4 chiffres     : 1234 et 1243 -> codes différents               -> avec ordre
Tiercé dans l'ordre   : ordre imposé                                    -> A
Comité de 3 personnes : même comité                                     -> C

Deux exemples chiffrés

Mains de 5 cartes dans un jeu de 52 :

   C(52,5) = 2 598 960

Grilles de loto (5 numéros parmi 49) :

   C(49,5) = 1 906 884       ->  P(gagner) ≈ 1 / 1 900 000

Ce dernier nombre donne une idée concrète : jouer une grille par semaine pendant 36 000 ans donnerait en moyenne un seul bon tirage.

En résumé

• Arrangement A(n,k) = n!/(n-k)! : avec ordre, sans répétition.
• Combinaison C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) : sans ordre, sans répétition.
• On passe de l'un à l'autre en divisant par k!.
• Tirage avec remise et ordre : n^k.
• Le test décisif : échanger deux objets change-t-il la situation ?
• C(52,5) = 2 598 960 mains de cartes ; C(49,5) = 1 906 884 grilles de loto.