Les trois theoremes de reference

Introduction

Quand on etudie une limite en +infini melant plusieurs types de fonctions (logarithme, puissance, exponentielle), il ne suffit pas de raisonner terme a terme : il faut connaitre la hierarchie de croissance entre ces familles de fonctions. C'est l'objet des theoremes de croissances comparees.

Les trois resultats fondamentaux

Pour tout entier n >= 1 (et meme tout reel n > 0) :

1. lim x->+infini (ln(x))/x^n = 0
2. lim x->+infini x^n / e^x = 0
3. lim x->0+ x^n * ln(x) = 0

Hierarchie a retenir

Fonction	Vitesse de croissance
ln(x)	tres lente
x^n (n>0)	moderee
e^x	tres rapide

On resume souvent cela par : ln(x) << x^n << e^x quand x -> +infini (le symbole << signifie "negligeable devant").

Exemples

• lim x->+infini (ln x)/sqrt(x) = 0, car sqrt(x) = x^(1/2) l'emporte sur ln(x).
• lim x->+infini x^5 * e^(-x) = lim x->+infini x^5/e^x = 0.
• lim x->0+ x^2 * ln(x) = 0 malgre le fait que ln(x) -> -infini.

Piege classique

Ne confondez pas croissance comparee et ordre de grandeur pour x fixe. Ces theoremes s'appliquent aux limites en +infini (ou en 0+ pour le troisieme), pas en -infini ni pour une valeur particuliere de x.