Etudier une fonction grace aux croissances comparees

Objectif

Les croissances comparees servent souvent a lever une forme indeterminee lors de l'etude d'une fonction : limites aux bornes, recherche d'asymptotes, comportement en +infini ou en 0+.

Methode generale

Face a une expression melant polynomes, exponentielles et logarithmes :

1. Reperer la forme indeterminee (infini - infini, infini/infini, 0*infini...).
2. Factoriser par le terme dominant identifie grace a la hierarchie ln(x) << x^n << e^x.
3. Utiliser les theoremes de croissance comparee sur les termes residuels, qui tendent vers 0.

Exemple 1 : etude en +infini

Soit f(x) = x^2 * e^(-x). En +infini, on ecrit f(x) = x^2/e^x, forme du type infini/infini. D'apres le theoreme, x^2/e^x -> 0, donc f admet une asymptote horizontale d'equation y=0 en +infini.

Exemple 2 : etude en 0+

Soit g(x) = xln(x) - x, pour x -> 0+. On a xln(x) -> 0 (croissance comparee, cas n=1) et -x -> 0, donc g(x) -> 0. Attention : cela ne suffit pas a affirmer que g est continue en 0 sans preciser explicitement un prolongement g(0)=0.

Piege a surveiller

ln(x) n'est defini que pour x>0. Avant d'appliquer un theoreme de croissance comparee au voisinage de 0, verifiez que la fonction est bien definie a droite de ce point.

Tableau recapitulatif des formes a reconnaitre

Forme rencontree	Terme dominant	Limite
x^n * e^(-x), x->+infini	e^x	0
x^n * ln(x), x->0+	1/x^n indirectement	0
(ln x)/x^n, x->+infini	x^n	0