Demonstrations et techniques de calcul

Comment demontrer ces resultats

La demonstration classique repose sur un changement de variable et un encadrement. Pour lim x->+infini x^n/e^x = 0, on utilise l'inegalite e^x >= x^(n+1)/(n+1)! valable pour x>=0 (consequence de la convexite de l'exponentielle), ce qui donne 0 <= x^n/e^x <= (n+1)!/x, et le terme de droite tend vers 0.

Pour lim x->+infini (ln x)/x^n, on pose t = ln(x), donc x = e^t. La limite devient lim t->+infini t/e^(n*t), qui est une nouvelle application du theoreme precedent.

Methode pratique pour un exercice

1. Identifier le terme dominant, c'est-a-dire celui qui croit le plus vite selon la hierarchie ln(x) << x^n << e^x.
2. Factoriser l'expression par ce terme dominant.
3. Appliquer les theoremes de croissance comparee sur ce qui reste, qui doit tendre vers 0.

Exemple detaille

Calculons lim x->+infini (x^2 - e^x)/(x + e^x).

On factorise par e^x au numerateur et au denominateur :

(x^2 - e^x)/(x + e^x) = (x^2/e^x - 1)/(x/e^x + 1)

Comme x^2/e^x -> 0 et x/e^x -> 0, la limite vaut (0-1)/(0+1) = -1.

Pieges a eviter

• Oublier de verifier le comportement du terme dominant avant de simplifier.
• Appliquer le theoreme directement sur une forme indeterminee sans factoriser au prealable.
• Confondre x^n avec n^x : ce sont deux croissances tres differentes, n^x etant de nature exponentielle.