L'atome d'hydrogène et ses séries

La formule des niveaux de l'hydrogène

Pour l'atome d'hydrogène, le plus simple (un proton, un électron), les niveaux d'énergie suivent une formule remarquablement simple, où n est un entier appelé nombre quantique principal :

   E_n = -13,6 / n^2   (en eV),   avec n = 1, 2, 3, ...

Calculons les premiers :

   n=1 :  E = -13,6 / 1   = -13,60 eV   (fondamental)
   n=2 :  E = -13,6 / 4   =  -3,40 eV
   n=3 :  E = -13,6 / 9   =  -1,51 eV
   n=4 :  E = -13,6 / 16  =  -0,85 eV
   n=∞ :  E = 0                          (ionise)

On retrouve exactement le diagramme vu au chapitre précédent, et on voit pourquoi les niveaux se resserrent vers le haut : en 1/n^2, ils s'accumulent près de E = 0.

Les séries de raies

Toutes les transitions qui aboutissent au même niveau bas forment une série de raies. Chaque série tombe dans un domaine de longueurs d'onde différent :

   E=0  ------------------------------  (ionisation)
        |   |   |
   n=4  ---+---+---+----------
        |  |   |   |
   n=3  -+-+---+---+-----  ---.        transitions VERS n=3
        | |    |   |          |----> serie de PASCHEN (infrarouge)
   n=2  -+-+---+----  ---.
        | |    |        |----------->  serie de BALMER (visible !)
        | |    |        |
   n=1  -+-+----  ---.
                    |------------------> serie de LYMAN (ultraviolet)

• Série de Lyman : toutes les transitions vers n=1. Grands écarts d'énergie -> photons très énergétiques -> ultraviolet (invisible).
• Série de Balmer : transitions vers n=2. Écarts moyens -> lumière visible. C'est la seule série qu'on voit à l'œil : ce sont les fameuses raies rouge, bleue et violette de l'hydrogène.
• Série de Paschen : transitions vers n=3. Petits écarts -> infrarouge (invisible).

Un calcul complet : la raie rouge de l'hydrogène

Calculons la longueur d'onde du photon émis lors de la transition n=3 -> n=2 (la raie rouge de Balmer).

   ΔE = E3 - E2 = (-1,51) - (-3,40) = 1,89 eV

Convertissons en joules : ΔE = 1,89 × 1,6 × 10^-19 ≈ 3,0 × 10^-19 J. Puis, de ΔE = hc/λ, on tire :

   λ = h c / ΔE
     = (6,6 × 10^-34 × 3,0 × 10^8) / (3,0 × 10^-19)
     ≈ 6,6 × 10^-7 m
     = 660 nm

660 nm, c'est du rouge — exactement la couleur de la raie la plus célèbre de l'hydrogène. Le diagramme de niveaux prédit donc, au calcul près, les couleurs observées dans le spectre.

En résumé

Les niveaux de l'hydrogène valent E_n = -13,6/n^2 eV, ce qui explique leur resserrement vers le haut. Les transitions vers un même niveau bas forment des séries : Lyman (vers n=1, UV), Balmer (vers n=2, visible), Paschen (vers n=3, IR). Le calcul de ΔE puis de λ = hc/ΔE redonne précisément les couleurs des raies observées — la théorie et l'expérience se rejoignent.