Ondes stationnaires : nœuds, ventres et harmoniques

Quand une onde progressive se réfléchit sur elle-même dans un milieu de longueur finie, comme une corde de guitare fixée à ses deux extrémités, l'onde incidente et l'onde réfléchie se superposent en permanence. Le résultat ne se déplace plus : c'est une onde stationnaire. Certains points de la corde restent immobiles en toutes circonstances, ce sont les nœuds (N), tandis que d'autres oscillent avec une amplitude maximale, ce sont les ventres (V).

Pour une corde fixée aux deux bouts, les extrémités sont obligatoirement des nœuds, puisqu'elles ne peuvent pas bouger. Cette contrainte impose que seules certaines longueurs d'onde particulières soient possibles : ce sont les modes propres ou harmoniques. Pour une corde de longueur L, l'harmonique de rang n (n = 1, 2, 3...) correspond à une longueur d'onde λ_n = 2L / n, et donc à une fréquence f_n = n × v / (2L), où v est la célérité de l'onde sur la corde.

Le premier harmonique (n = 1), aussi appelé fondamentale, ne comporte que deux nœuds, aux extrémités, et un seul ventre au milieu. Le deuxième harmonique (n = 2) ajoute un nœud supplémentaire au centre, formant deux ventres. De façon générale, l'harmonique de rang n compte n ventres et (n + 1) nœuds. C'est ce découpage en modes qui donne son timbre caractéristique à chaque instrument à cordes.

Le même raisonnement s'applique à un tuyau sonore (comme dans une flûte ou un orgue), avec une nuance importante : une extrémité ouverte se comporte comme un ventre de vibration, alors qu'une extrémité fermée impose un nœud. Un tuyau fermé à une extrémité ne produit donc que les harmoniques impairs, ce qui explique pourquoi sa sonorité diffère nettement de celle d'un tuyau ouvert aux deux bouts.

Attention à l'erreur classique qui consiste à croire qu'un ventre correspond à un point où la matière se déplace le plus loin sans jamais s'arrêter : en réalité chaque point de la corde oscille, y compris au ventre, en passant par une vitesse nulle aux positions extrêmes puis maximale au passage par l'équilibre, exactement comme un pendule.

corde fixee aux deux extremites, longueur L

harmonique n=1 (fondamentale) :  N-------V-------N
                                   (1 ventre, 2 noeuds)

harmonique n=2 :                 N---V---N---V---N
                                   (2 ventres, 3 noeuds)

harmonique n=3 :                 N-V-N-V-N-V-N
                                   (3 ventres, 4 noeuds)

lambda_n = 2L / n        f_n = n x v / (2L)