Théorème de fluctuation et première loi opératorielle

Un bon opérateur travail doit respecter les théorèmes de fluctuation. Pour un système préparé dans un état thermique à température inverse β, l'article démontre un théorème de fluctuation quantique :

   ⟨ e^(−β Ŵ(t,t₀)) ⟩ = e^(−β ΔF) + Δ(t,t₀)

où ΔF est la variation d'énergie libre d'équilibre, et Δ(t,t₀) un terme correctif. Ce terme a une propriété décisive :

   Δ ≥ 0
   Δ = 0  ⟺  [ Û†(t,t₀) Ĥ_S(t) Û(t,t₀) ,  Ĥ_S(t₀) ] = 0     (les hamiltoniens commutent)

Quand les hamiltoniens aux différents instants commutent — le régime classique — la correction s'annule et l'on retrouve exactement l'égalité de Jarzynski, pierre angulaire de la thermodynamique hors équilibre. Quand ils ne commutent pas, Δ mesure l'écart : ce n'est pas un échec de la théorie, mais la signature d'une dynamique authentiquement quantique, portée par la non-commutativité.

Ce résultat contourne un célèbre théorème d'impossibilité (no-go) qui prétendait qu'aucun travail fluctuant cohérent n'était définissable. L'astuce : ne pas imposer l'accord avec le schéma à deux mesures (TPM) comme définition du classique, mais dériver la limite classique de l'absence de non-commutativité. Sur les états diagonaux en énergie, opérateur travail et TPM donnent d'ailleurs la même moyenne et la même variance ; ils ne diffèrent qu'aux moments d'ordre supérieur. Nul besoin de mesure projective, dont le coût énergétique dépasse souvent l'échelle du système étudié.

Enfin, en étendant le cadre aux systèmes ouverts, on obtient une première loi opératorielle : travail, chaleur et variation d'énergie interne y sont trois opérateurs distincts sur le système réduit.

   dÛ_interne = δŴ (travail) + δQ̂ (chaleur)      (premiere loi, version operateurs)

La conclusion tranche un vieux débat : oui, le travail est une observable quantique — à condition d'inclure le contrôleur dans la description, au lieu de le traiter comme extérieur.