Le nombre d'or et la formule de Binet

Calcule le rapport de deux termes consécutifs de Fibonacci :

   F(n+1)/F(n) :  1/1=1   2/1=2   3/2=1.5   5/3=1.667   8/5=1.6   13/8=1.625 ...

Ces rapports oscillent en se resserrant autour d'un nombre célèbre, le nombre d'or, noté φ (phi) :

   φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887...

φ est la solution positive de l'équation x² = x + 1 — c'est-à-dire la relation de Fibonacci elle-même, « le suivant est la somme des deux d'avant », transposée aux puissances. Plus n grandit, plus le rapport F(n+1)/F(n) colle à φ.

Plus fort encore : il existe une formule close qui donne F(n) directement, sans dérouler tous les termes. C'est la formule de Binet :

   F(n) = (φ^n − ψ^n) / √5       avec  ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0.618

Teste-la pour n = 10 : le calcul tombe pile sur 55. C'est troublant — une suite d'entiers exprimée avec √5 et des puissances irrationnelles, et pourtant le résultat est toujours un entier exact. La clé : le second terme ψ^n est minuscule, car |ψ| < 1, donc ψ^n tend vers 0. Il suffit alors d'arrondir :

   F(n) = arrondi( φ^n / √5 )

Le nombre d'or n'est donc pas une curiosité posée à côté de Fibonacci : il en est le cœur caché. Chaque fois que tu vois la suite, φ n'est jamais loin.