Une suite née de lapins

En 1202, Leonardo de Pise, dit Fibonacci, pose un problème de lapins dans son Liber Abaci. Un couple de lapins devient adulte au bout d'un mois, puis engendre un nouveau couple chaque mois suivant. Combien de couples au bout d'un an ? La réponse fait apparaître une suite qui porte aujourd'hui son nom.

La suite de Fibonacci se définit par récurrence : chaque terme est la somme des deux précédents.

   F(0) = 0
   F(1) = 1
   F(n) = F(n-1) + F(n-2)     (pour n >= 2)

On déroule ainsi les premiers termes :

   n     0  1  2  3  4  5  6   7   8   9   10
   F(n)  0  1  1  2  3  5  8   13  21  34  55

Le décompte des lapins suit exactement cette règle. À chaque mois, les adultes du mois précédent sont toujours là, et chacun d'eux donne un nouveau couple de bébés :

   mois      1  2  3  4  5  6
   adultes   1  1  2  3  5  8     (= le total du mois d'avant)
   bebes     0  1  1  2  3  5     (= les adultes du mois d'avant)
   total     1  2  3  5  8  13    (adultes + bebes)

Comme le total d'un mois est fait des adultes (le total précédent) et des bébés (le total d'encore avant), on retrouve « la somme des deux d'avant ».

Cette suite surgit partout dans la nature : spirales des pommes de pin, des tournesols, des coquillages, disposition des feuilles autour d'une tige. Ce n'est pas un hasard : additionner les deux étapes précédentes est l'un des schémas de croissance les plus simples, et le vivant l'exploite. Retiens l'essentiel : Fibonacci, c'est « la somme des deux d'avant » — une règle minuscule qui cache une richesse surprenante.