Les directions que la matrice ne dévie pas

Une matrice déforme l'espace : elle tourne, étire, incline. Mais certaines directions échappent à la rotation — elles sont seulement étirées. Ces directions privilégiées sont les vecteurs propres, et elles révèlent la nature profonde de la transformation.

La définition

Un vecteur v non nul est un vecteur propre de la matrice carrée A s'il existe un nombre λ tel que :

A v = λ v

Le nombre λ est la valeur propre associée. Autrement dit : appliquer A à v ne change pas sa direction, seulement sa longueur (et éventuellement son sens, si λ < 0).

    vecteur quelconque              vecteur propre
         ^                               ^
         |   A                           |   A
      u  |  ---->  Au                 v  |  ---->  Av = 2v
        /              \                 |            |
       /                \                |            |
      O                  O               O            O

  la direction change            la direction est conservée

Le vecteur nul est exclu : A·0 = λ·0 serait vrai pour tout λ, ce qui ne dirait rien. En revanche λ = 0 est autorisé : cela signifie que v est écrasé, autrement dit que v appartient au noyau.

Les exemples géométriques

Ils rendent la notion évidente :

Transformation                Vecteurs propres          Valeurs propres
----------------------------  ------------------------  ---------------
homothétie de rapport 3       tous les vecteurs         3
projection sur l'axe x        l'axe x   -> gardé        1
                              l'axe y   -> écrasé       0
symétrie / axe x              l'axe x   -> inchangé     1
                              l'axe y   -> retourné    -1
rotation de 90° dans le plan  aucun (réel)              aucune (réelle)

La dernière ligne est instructive : une rotation d'un quart de tour dévie toutes les directions, elle n'a donc aucun vecteur propre réel. (Elle en a dans les nombres complexes, i et -i — c'est l'un des liens entre les deux moitiés de ce cours.)

Le sous-espace propre

Si v est vecteur propre pour λ, alors 2v, -v et tous ses multiples le sont aussi :

A(2v) = 2(Av) = 2(λv) = λ(2v)

L'ensemble des vecteurs vérifiant Av = λv, complété par le vecteur nul, forme donc un sous-espace vectoriel appelé sous-espace propre :

E(λ) = Ker(A - λI)

Cette écriture est capitale : chercher les vecteurs propres de λ, c'est résoudre le système homogène (A - λI)X = 0. Tout le cours précédent se réinvestit ici.

Ce que ces directions racontent

Un vecteur propre est une direction stable : un état que la transformation ne mélange pas avec les autres. Selon le contexte, cela s'appelle un mode propre de vibration (mécanique), un état stationnaire (probabilités), un axe principal d'inertie (physique) ou une composante principale (statistique). C'est toujours la même équation.

En résumé

• v ≠ 0 est vecteur propre si A v = λ v : sa direction est conservée.
• λ est la valeur propre : le facteur d'étirement dans cette direction.
• λ = 0 est permis (le vecteur est écrasé) ; v = 0 est interdit.
• Le sous-espace propre est E(λ) = Ker(A - λI).
• Le trouver revient à résoudre le système homogène (A - λI)X = 0.
• Une rotation du plan n'a aucun vecteur propre réel.