Le polynôme caractéristique

Comment trouver les valeurs propres sans les deviner ? En transformant l'équation Av = λv en une équation portant sur λ seul.

De l'équation propre au déterminant

A v = λ v
A v - λ v = 0
(A - λI) v = 0            <- attention : λI, pas λ tout seul

Cette dernière ligne dit que v est dans le noyau de A - λI. Or on cherche un v non nul : il faut donc que ce noyau contienne autre chose que zéro, c'est-à-dire que la matrice A - λI ne soit pas inversible. Et cela se teste par le déterminant :

λ est valeur propre   <=>   det(A - λI) = 0

Le polynôme caractéristique

Le nombre det(A - λI) est un polynôme en λ, de degré n pour une matrice n × n. On l'appelle le polynôme caractéristique, et ses racines sont exactement les valeurs propres.

Sur un exemple :

A = [ 3  1 ]      A - λI = [ 3-λ    1  ]
    [ 2  2 ]               [  2    2-λ ]

det = (3-λ)(2-λ) - 1×2 = 6 - 3λ - 2λ + λ² - 2 = λ² - 5λ + 4

λ² - 5λ + 4 = 0   ->   λ = 1   ou   λ = 4

Trouver les vecteurs propres

Une fois λ connu, on résout le système homogène pour chacune :

Pour λ = 4 :  (A - 4I)X = 0
              [ -1   1 ] [x]   [0]        -x + y = 0   ->   y = x
              [  2  -2 ] [y] = [0]

              E(4) = Vect( (1 ; 1) )

Pour λ = 1 :  (A - I)X = 0
              [ 2  1 ] [x]   [0]          2x + y = 0   ->   y = -2x
              [ 2  1 ] [y] = [0]

              E(1) = Vect( (1 ; -2) )

Vérification, toujours rapide et toujours utile :

A(1 ; 1)  = (3+1 ; 2+2)   = (4 ; 4)   = 4 × (1 ; 1)    ✔
A(1 ; -2) = (3-2 ; 2-4)   = (1 ; -2)  = 1 × (1 ; -2)   ✔

Les deux contrôles gratuits

Deux relations permettent de vérifier des valeurs propres sans rien recalculer :

somme des valeurs propres   = trace(A)   (somme de la diagonale)
produit des valeurs propres = det(A)

Sur l'exemple : 1 + 4 = 5 = 3 + 2 ✔ et 1 × 4 = 4 = 6 - 2 ✔. En dimension 2, ces deux relations suffisent même à retrouver les valeurs propres de tête.

Multiplicités et cas particuliers

Une racine peut être multiple. Pour λ de multiplicité m dans le polynôme caractéristique :

1 ≤ dim E(λ) ≤ m

Quand dim E(λ) < m, il « manque » des vecteurs propres — c'est précisément ce qui empêchera de diagonaliser. Deux cas se lisent d'un coup d'œil :

- matrice TRIANGULAIRE ou diagonale : les valeurs propres sont sur la DIAGONALE.
- matrice symétrique réelle : toutes les valeurs propres sont réelles
  (et la matrice est toujours diagonalisable — théorème spectral).

En résumé

• λ est valeur propre ⟺ det(A - λI) = 0.
• Ce déterminant est le polynôme caractéristique, de degré n.
• Les racines sont les valeurs propres ; les vecteurs propres s'obtiennent ensuite par (A - λI)X = 0.
• Contrôles : somme = trace, produit = déterminant.
• Matrice triangulaire : les valeurs propres sont sur la diagonale.
• Matrice symétrique réelle : valeurs propres réelles, diagonalisation garantie.