Centrale-Supélec 2026 — Mathématiques 2 (TSI)

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1. Exercise 1 — Partie A · I — Le cas n = 2 (Q1, Q2)

   u(P) = P(X+1) et v(P) = P(X−1) sur R_n[X].

   • Q1 — u est un endomorphisme de R_2[X] ; sa matrice dans la base canonique.
   • Q2 — cette matrice est inversible ; son inverse, son spectre, sa diagonalisabilité.
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2. Exercise 2 — Partie A · II — Des matrices semblables à leurs inverses (Q3 à Q7)

   U est la matrice de u dans la base canonique de R_n[X].

   • Q3 — U est triangulaire supérieure de coefficients binomiaux ; est-elle diagonalisable ?
   • Q4 — u ∘ v, l'inversibilité de U, et les coefficients de U^{-1}.
   • Q5, Q6 — la matrice D des signes alternés, et la similitude U ∼ U^{-1}.
   • Q7 — le même résultat pour la matrice inférieure L = U^⊤.
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3. Exercise 3 — Partie A · III — La matrice symétrique de Pascal (Q8 à Q12)

   S = LU.

   • Q8 — le cas n = 2 : calcul de S, diagonalisabilité, spectre {1, α, 1/α}.
   • Q9 — le cas général : S est diagonalisable, inversible, semblable à son inverse.
   • Q10, Q11 — le spectre de S est formé de réels strictement positifs, stable par x ↦ 1/x.
   • Q12 — la réciproque est-elle vraie ?
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4. Exercise 4 — Partie A · IV — Les coefficients de S par dénombrement (Q13 à Q15)

   Ω_{i,j} désigne l'ensemble des chemins de la source s vers le sommet (i, j) dans le graphe orienté G_n.

   • Q13 — le cardinal de Ω_{2,2}, puis de Ω_{i,j} en général.
   • Q14 — un système complet d'événements donnant la formule de Vandermonde.
   • Q15 — le coefficient d'indice (i, j) de S.
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5. Exercise 5 — Partie B · I — La suite des dérangements (Q16 à Q22)

   a_0 = 1, a_1 = 0, et a_{n+1} = n(a_n + a_{n−1}).

   • Q16, Q17 — les premières valeurs, et une fonction Python.
   • Q18, Q19 — a_n est un entier naturel, majoré par n!.
   • Q20 à Q22 — l'encadrement par les sommes partielles de Σ(−1)^k/k!, l'identité a_n = n!S_n, et l'équivalent.
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6. Exercise 6 — Partie B · II — La série entière associée (Q23 à Q25)

   s(x) = Σ (a_n/n!)x^n.

   • Q23 — le rayon de convergence vaut 1, et s est solution d'un système différentiel.
   • Q24 — la résolution, et l'expression close de s.
   • Q25 — la formule de Leibniz appliquée à x ↦ e^x s(x).
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7. Exercise 7 — Partie C · I et II — Représenter une permutation (Q26 à Q30)

   Une permutation se représente par un graphe orienté G(σ) ou par une matrice M(σ) dont le coefficient (i, j) vaut 1 si et seulement si σ(i) = j.

   • Q26, Q27 — passer d'une représentation à l'autre sur deux exemples.
   • Q28 à Q30 — l'inverse et le carré d'une matrice de permutation.
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8. Exercise 8 — Partie C · III — Matrices de permutation diagonalisables (Q31 à Q35)

   Le théorème à établir : M(σ) est diagonalisable si et seulement si G(σ) ne contient que des boucles ou des bi-boucles.

   • Q31 — l'exemple : polynôme caractéristique et diagonalisabilité.
   • Q32 à Q34 — le sens direct.
   • Q35 — la réciproque.
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9. Exercise 9 — Partie D — Graphes de permutations sans boucle (Q36 à Q41)

   B_n est l'événement « le graphe choisi est sans boucle », b_n son cardinal, et X_n le nombre de boucles.

   • Q36, Q37 — le cardinal de G(S_n), les valeurs de X_n, et sa loi.
   • Q38, Q39 — la relation entre p! et les b_k, puis les premières valeurs.
   • Q40, Q41 — la probabilité cherchée, obtenue de deux façons.
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