Centrale-Supélec 2026 — Mathématiques 2 (PSI)

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1. Exercise 1 — Partie A — Un produit scalaire à poids (Q1 à Q8)

   α et β sont deux réels strictement supérieurs à −1.

   • Q1, Q2 — convergence des intégrales de Riemann en une borne.
   • Q3 — convergence de ∫_{−1}^{1}(1−t)^α(1+t)^β f(t)dt pour f continue.
   • Q4 — cette intégrale définit un produit scalaire sur R[X].
   • Q5, Q6 — le cas α = β = −1/2.
   • Q7, Q8 — le cas α = β = 0.
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2. Exercise 2 — Partie B — Autour des coefficients binomiaux (Q9, Q10)

   • Q9 — la formule de Vandermonde, par un argument de dénombrement.
   • Q10 — comparaison du coefficient binomial C(n, k) et du coefficient généralisé B_k^n.
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3. Exercise 3 — Partie C · I — Premières propriétés des polynômes P_k (Q11 à Q13)

   (P_0, …, P_n) est la base orthonormale obtenue par Gram-Schmidt à partir de (1, X, …, X^n).

   • Q11 — P_k est de degré k.
   • Q12 — P_k est orthogonal à tous les polynômes de degré < k.
   • Q13 — tout polynôme de degré k orthogonal à Vect(1, …, X^{k−1}) est proportionnel à P_k.
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4. Exercise 4 — Partie C · II et III — Relation à trois termes et racines (Q14 à Q19)

   • Q14, Q15 — l'existence d'une relation de récurrence liant P_{k+1}, P_k et P_{k−1}.
   • Q16 à Q19 — les racines de P_k dans ]−1, 1[ : leur nombre m, le polynôme S construit sur elles, et la conclusion.
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5. Exercise 5 — Partie D · I — Les polynômes de Jacobi (Q20 à Q24)

   g_k(x) = (1−x)^{α+k}(1+x)^{β+k} et J_k est défini à partir de g_k^{(k)}.

   • Q20 — les expressions de g_0, g_1, puis de J_0 et J_1.
   • Q21 — la dérivée p-ième de x ↦ (1−x)^j pour j réel.
   • Q22, Q23 — l'expression de g_k^{(k)} par la formule de Leibniz, puis celle de J_k.
   • Q24 — J_k est polynomiale de degré k, et son coefficient dominant.
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6. Exercise 6 — Partie D · II — Orthogonalité des polynômes de Jacobi (Q25 à Q28)

   • Q25 — convergence de deux intégrales, et une relation entre elles obtenue par intégration par parties.
   • Q26 — ⟨J_k, X^i⟩ = 0 pour i ⩽ k−1.
   • Q27 — (J_0, …, J_n) est une base orthogonale.
   • Q28 — comment en déduire une base orthonormale.
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7. Exercise 7 — Partie E · I — Les polynômes de Legendre (Q29 à Q33)

   Cas α = β = 0 : L_k = (1/(2^k k!))·[(X²−1)^k]^{(k)}.

   • Q29, Q30 — les quatre premiers polynômes et leurs racines.
   • Q31 — degré et coefficient dominant, sans recourir à la partie C.
   • Q32, Q33 — parité, puis les valeurs en 1 et −1.
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8. Exercise 8 — Partie E · II et III — Équation différentielle et majoration (Q34 à Q37)

   Ici g_k(x) = (1−x²)^k.

   • Q34 — exprimer (1−x²)g_k′(x) à l'aide de g_k.
   • Q35 — en dériver k+1 fois par Leibniz : L_k vérifie l'équation de Legendre.
   • Q36, Q37 — la fonction auxiliaire f_k est monotone, d'où |L_k| ⩽ 1.
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9. Exercise 9 — Partie E · IV et V — Récurrence et fonction génératrice (Q38 à Q42)

   • Q38, Q39 — la relation à trois termes explicitée pour les L_k.
   • Q40 — le rayon de convergence de Σ L_k(x)t^k est au moins 1.
   • Q41, Q42 — l'équation différentielle vérifiée par la somme S, puis son expression close.
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