Centrale-Supélec 2026 — Mathématiques 2 (PC)

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1. Exercise 1 — Partie A — Construction d'une fonction test (Q1 à Q7)

   φ(x) = e^{−1/x} pour x > 0, et φ(x) = 0 pour x ⩽ 0.

   • Q1 — φ est de classe C^∞ sur R^*.
   • Q2 — l'existence d'un polynôme P_n tel que φ^{(n)}(x) = P_n(1/x)e^{−1/x}.
   • Q3 — en déduire φ ∈ C^∞(R).
   • Q4 — construire ψ_{a,b}, lisse, strictement positive sur ]a, b[, nulle ailleurs.
   • Q5, Q6 — la fonction ρ_ε est bien définie, appartient à D(R), et son intégrale vaut 1.
   • Q7 — ρ_ε concentre l'intégrale en un point.
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2. Exercise 2 — Partie B — Distributions sur R (Q8 à Q13)

   Une distribution est une forme linéaire sur D(R) vérifiant, sur chaque segment K, une majoration par les normes infinies des premières dérivées.

   • Q8 — D′(R) est un espace vectoriel.
   • Q9 — la masse de Dirac δ_a est une distribution.
   • Q10 — la distribution T_f associée à une fonction continue par morceaux.
   • Q11 — deux fonctions continues qui donnent la même distribution sont égales.
   • Q12 — le taux d'accroissement ψ d'une fonction test est lisse.
   • Q13 — la valeur principale de 1/x est une distribution.
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3. Exercise 3 — Partie C · I — Dériver une distribution (Q14 à Q17)

   La dérivée d'une distribution est définie par T′(φ) = −T(φ′).

   • Q14 — T′ est bien une distribution.
   • Q15 — pour f de classe C^1, T_f′ = T_{f′} : la définition prolonge la dérivation usuelle.
   • Q16 — la valeur absolue : non dérivable, mais dérivable au sens des distributions.
   • Q17 — la fonction de Heaviside a pour dérivée δ_0.
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4. Exercise 4 — Partie C · II — Les distributions de dérivée nulle (Q18 à Q23)

   • Q18 — une distribution de dérivée nulle est associée à une fonction constante ; la démonstration passe par les fonctions tests d'intégrale nulle.
   • Q19, Q20 — traduction pour les fonctions continues : dérivée nulle donne constante, dérivée seconde nulle donne affine.
   • Q21 à Q23 — si T_f′ = T_g avec f et g continues, alors f est de classe C^1 et f′ = g.
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5. Exercise 5 — Partie D — Suites de distributions (Q24 à Q27)

   La convergence d'une suite de distributions est définie point par point sur les fonctions tests.

   • Q24 — la dérivation est continue pour cette convergence.
   • Q25 — un exemple de suite de fonctions qui ne converge pas simplement, alors que la suite des distributions associées converge.
   • Q26, Q27 — la convergence uniforme, puis la convergence en norme 2, entraînent la convergence des distributions.
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6. Exercise 6 — Partie E — Le théorème d'unicité de Cantor (Q28 à Q34)

   On suppose que la série trigonométrique Σ (a_n cos(nx) + b_n sin(nx)) converge pour tout réel x, et que sa somme est nulle. On veut en déduire que tous les coefficients sont nuls.

   • Q28 — les suites (a_n) et (b_n) tendent vers 0.
   • Q29 — le cas où les séries Σ|a_n| et Σ|b_n| convergent.
   • Q30 à Q33 — on divise par n² : la série obtenue converge normalement, sa somme F est affine, bornée, constante, puis nulle.
   • Q34 — conclusion.
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