Centrale-Supélec 2026 — Mathématiques 2 (MP, MPI)
Sujet officiel de Mathématiques 2 du Concours Centrale-Supélec 2026, filières MP, MPI. Le document est consulté depuis le site du concours.
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Official exam paper
Source: Concours Centrale-Supélec
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Exercise 1 — Partie A · I — La fonction ζ sur ]1, +∞[ (Q1 à Q3)
On pose
u_k(s) = 1/k^setζ(s) = Σ_{k⩾1} 1/k^s.- Q1 — la série de fonctions converge-t-elle normalement sur
]1, +∞[? - Q2 — continuité de
ζsur cet intervalle. - Q3 —
ζne s'y annule pas ; préciser son signe.
- Q1 — la série de fonctions converge-t-elle normalement sur
Exercise 2 — Partie A · II — Cas de la variable complexe (Q4 à Q10)
sest désormais complexe, de partie réellex = Re(s) > 1, et(p_i)désigne la suite croissante des nombres premiers.- Q4 — module de
t^spourt > 0. - Q5 — convergence absolue de la série définissant
ζ(s). - Q6 — sommabilité de la famille indexée par les exposants, et le produit
eulérien partiel
S_n(s). - Q7 — limite de
S_n(s)quandn → +∞. - Q8 — nature de la série
Σ 1/p_i^x. - Q9 — convergence de la suite
a_n = Π p_i^x/(p_i^x + 1)vers un réel> 0. - Q10 — la minoration
|S_n(s)| ⩾ a_n, d'oùζ(s) ≠ 0.
- Q4 — module de
Exercise 3 — Partie A · III — Un calcul d'intégrale (Q11)
- Q11 — intégrabilité de
t ↦ t^{2(s−1)}sur]0, 1]pourRe(s) > 1/2, puis calcul de∫_0^1 |t^{s−1}|² dt.
- Q11 — intégrabilité de
Exercise 4 — Partie A · IV — Une étude géométrique (Q12 à Q14)
Pour
d ∈ ]0,1[,Δ_ddésigne l'ensemble des points d'affixesvérifiantd²|s|² ⩾ 2 Re(s) − 1.- Q12 —
Δ_dest le complémentaire d'un disque, dont on précise centre et rayon. - Q13 — image de
]0,1[parg(d) = 1/d² − √(1−d²)/d². - Q14 — l'intersection de tous les
Δ_d.
- Q12 —
Exercise 5 — Partie B · I — Transformée de Mellin des fonctions f_k (Q15 à Q21)
Pour
k ⩾ 2,f_k(t) = (1/k)⌊1/t⌋ − ⌊1/(kt)⌋sur]0,1].- Q15 — valeurs de
f_k(1/i)pour1 ⩽ i ⩽ k. - Q16 — l'encadrement
0 ⩽ f_k(t) ⩽ (k−1)/k. - Q17 — l'ensemble des valeurs prises par
f_k. - Q18 — continuité par morceaux et intégrabilité.
- Q19 à Q21 — convergence de l'intégrale associée, calcul de
F(s) = ∫_0^1 ⌊1/t⌋ t^{s−1} dt, puis la transformée def_k.
- Q15 — valeurs de
Exercise 6 — Partie B · II — Prolongement de la fonction ζ (Q22 à Q24)
sdésigne ici un réel strictement positif, eth(t) = 1/t^s.- Q22 — maximum de
|h′|sur[k, k+1]. - Q23 — convergence de la série
Σ ∫_k^{k+1}(1/k^s − 1/t^s)dt, et l'encadrement0 ⩽ G(s) ⩽ s·ζ(s+1). - Q24 — l'égalité
ζ(s) − G(s) = 1/(s−1)pours > 1, puis le comportement deζau voisinage de1.
- Q22 — maximum de
Exercise 7 — Partie B · III — Intégrale des fonctions f_k (Q25, Q26)
- Q25 — passage à la limite
s → 1^+dans∫_0^1 f_k(t)t^{s−1}dt. - Q26 — l'égalité
∫_0^1 f_k(t)dt = ln(k)/k.
- Q25 — passage à la limite
Exercise 8 — Partie C · I — Une forme bilinéaire symétrique positive (Q27 à Q29)
Edésigne l'espace des fonctions continues par morceaux sur]0,1], etL²le sous-ensemble de celles dont le carré est intégrable.- Q27 — trois affirmations à trancher : les fonctions bornées, l'égalité
E = L², et les fonctions intégrables. - Q28 — convergence absolue de
∫ fget structure de sous-espace vectoriel. - Q29 —
(f|g) = ∫_0^1 fgest une forme bilinéaire symétrique positive, mais pas un produit scalaire surL².
- Q27 — trois affirmations à trancher : les fonctions bornées, l'égalité
Exercise 9 — Partie C · II — Un espace préhilbertien réel (Q30 à Q33)
On suppose
Σ_{k=2}^{n} λ_k f_k = 0sur]0,1].- Q30 — en évaluant sur
]1/2, 1], obtenirΣ λ_k/k = 0. - Q31 — en évaluant en un point bien choisi, une relation pour chaque
ℓ. - Q32 — en déduire
λ_2 = 0, puis la nullité de tous lesλ_k: quelle propriété de la famille(f_k)vient-on d'établir ? - Q33 —
(.|.)est un produit scalaire surF = Vect(1, f_2, f_3, …).
- Q30 — en évaluant sur
Exercise 10 — Partie C · III — Distance d'un vecteur à des sous-espaces (Q34 à Q36)
On travaille dans
Fmuni du produit scalaire précédent, etd_ndésigne la distance de la fonction constante1au sous-espace engendré parf_2, …, f_n.- Q34 — existence et unicité d'une famille orthonormale
(e_k)adaptée aux sous-espaces emboîtés, avec une condition de signe. - Q35 — l'égalité
d_n² = 1 − Σ (1|e_k)². - Q36 — convergence de la suite
(d_n).
- Q34 — existence et unicité d'une famille orthonormale
Exercise 11 — Partie D — Synthèse (Q37, Q38)
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est admise pour les fonctions continues par morceaux de carré intégrable, à valeurs complexes.
- Q37 — justifier son application à
1 − Σ λ_k f_ket àt^{s−1}. - Q38 — établir
d_n²|s|² ⩾ 2 Re(s) − 1, puis conclure lorsqued_n → 0.
- Q37 — justifier son application à