Centrale-Supélec 2026 — Mathématiques 1 (PSI)

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1. Exercise 1 — Partie A · I — Le cas n = 1 (Q1 à Q3)

   • Q1 — la loi de X_1.
   • Q2 — sa fonction génératrice, son espérance et sa variance, données directement.
   • Q3 — la démonstration de ces résultats.
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2. Exercise 2 — Partie A · II — Le cas n = 2 (Q4 à Q13)

   • Q4, Q5 — les premières valeurs, et les résultats possibles des deux premiers lancers lorsque X_2 = k avec k > 2.
   • Q6 — la relation de récurrence d'ordre 2.
   • Q7 — les racines r_1 et r_2 du trinôme associé.
   • Q8, Q9 — rayon de convergence, puis expression de P(X_2 = k).
   • Q10 — la probabilité de ne jamais obtenir deux piles consécutifs est nulle.
   • Q11 à Q13 — fonction génératrice, existence des moments, espérance et variance.
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3. Exercise 3 — Partie B · I — Le cas n = 3 par l'algèbre linéaire (Q14 à Q25)

   • Q14, Q15 — premières valeurs et récurrence d'ordre 3.
   • Q16, Q17 — la matrice compagnon M et son polynôme caractéristique.
   • Q18, Q19 — χ_M a une unique racine dans ]0,1[, et une seule racine réelle.
   • Q20 à Q23 — diagonalisation dans C, forme générale de P(X_3 = k), et son écriture réelle.
   • Q24, Q25 — comparaison des modules des racines, puis l'équivalent.
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4. Exercise 4 — Partie B · II — Un cas particulier : p = 3/4 (Q26 à Q28)

   • Q26 — une racine entière de χ_M(X/4).
   • Q27 — toutes les racines de χ_M.
   • Q28 — un équivalent explicite de P(X_3 = k).
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5. Exercise 5 — Partie C — Le cas général par la fonction génératrice (Q29 à Q35)

   f(t) = t^n − q·Σ_{i=1}^{n} p^{i−1}t^{n−i} est la fonction introduite par le sujet.

   • Q29, Q30 — premières valeurs et récurrence d'ordre n.
   • Q31 — f(1), et l'existence d'un t ∈ ]p, 1] tel que f(t) ⩾ 0.
   • Q32 — la majoration P(X_n = k) ⩽ t^k.
   • Q33, Q34 — la fonction génératrice de X_n, et son espérance.
   • Q35 — la décomposition en éléments simples et son exploitation.
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6. Exercise 6 — Partie D · I — Au moins n piles en k lancers (Q36 à Q40)

   A_{n,k} est l'événement « avoir obtenu une succession d'au moins n piles au cours des k premiers lancers ».

   • Q36, Q37 — premières valeurs et récurrence.
   • Q38 — une fonction Python renvoyant la liste des P(A_{n,l}).
   • Q39, Q40 — la solution constante, puis le passage à la suite u_k = 1 − P(A_{n,k}).
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7. Exercise 7 — Partie D · II — La majoration géométrique et ses conséquences (Q41 à Q45)

   • Q41 — encadrement et décroissance de (u_k).
   • Q42 — la majoration u_k ⩽ α^{k−n} pour un α ∈ [M, 1[.
   • Q43 — la probabilité d'obtenir un jour n piles consécutifs.
   • Q44 — une application numérique : cinq piles en cent lancers.
   • Q45 — la démarche à suivre pour obtenir la forme close, sans les calculs.
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