Centrale-Supélec 2026 — Mathématiques 1 (PC)

Independent solutions, written by Pulsars. Neither official nor affiliated with Concours Centrale-Supélec.

1. Exercise 1 — Partie A · I — Équation réduite de l'ellipse (Q1 à Q5)

   F et F′ sont les points de coordonnées (c, 0) et (−c, 0) avec 0 < c < a, b = √(a² − c²), et ℰ l'ensemble des points M tels que MF + MF′ = 2a.

   • Q1 — l'inégalité triangulaire, puis FF′ ⩾ |MF − MF′|.
   • Q2 — en déduire que MF − MF′ ± 2a ne s'annule pas.
   • Q3 — une équivalence sous forme de produit de quatre facteurs.
   • Q4 — la forme ((MF′)² + (MF)² − 4a²)² = 4(MF′)²(MF)².
   • Q5 — l'équation réduite x²/a² + y²/b² = 1.
   View solution

2. Exercise 2 — Partie A · II — Étude d'une fonction (Q6 à Q8)

   f est définie sur [0, a] par f(x) = b√(1 − x²/a²) — la moitié supérieure droite de l'ellipse.

   • Q6 — tableau de variations, et tangentes à C_f en (0, b) et (a, 0).
   • Q7 — tracé de C_f.
   • Q8 — représentation de ℰ, avec les sommets et les foyers.
   View solution

3. Exercise 3 — Partie A · III — Paramètres de l'ellipse (Q9, Q10)

   On pose e = c/a, l'excentricité.

   • Q9 — montrer e ∈ ]0, 1[, puis exprimer c et b avec a et e.
   • Q10 — allure de ℰ selon que e est proche de 0 ou de 1.
   View solution

4. Exercise 4 — Partie B — Mouvement des planètes massives (Q11 à Q15)

   Trois planètes, décrites par les vecteurs H_t et L_t, liés par G_t = B·L_t et K_t = −B·H_t, où G_t et K_t sont les vecteurs des dérivées.

   • Q11 — établir F_t = A·H_t avec A = −B².
   • Q12 — diagonalisabilité de A, qui a trois valeurs propres réelles distinctes et négatives.
   • Q13 — équation différentielle vérifiée par chaque y_i, où Y_t = Q^{-1}H_t.
   • Q14 — expression générale des y_i.
   • Q15 — inversibilité de B, puis expression des h_i et des l_i.
   View solution

5. Exercise 5 — Partie C · I — La méthode de Le Verrier (Q16 à Q19)

   S_1, S_2, S_3 désignent les sommes des valeurs propres, de leurs carrés et de leurs cubes, et P_A = α_0 + α_1X + α_2X² + α_3X³.

   • Q16 — Tr(AB) = Tr(BA), et l'invariance de la trace par similitude.
   • Q17 — Tr(A), Tr(A²) et Tr(A³) en fonction des S_i.
   • Q18 — le polynôme caractéristique et ses coefficients en fonction des λ_i.
   • Q19 — α_1 et α_2 en fonction de S_1 et S_2.
   View solution

6. Exercise 6 — Partie C · II — Étude d'un cas particulier (Q20 à Q23)

   A = ½·[[−4, 11, 13], [0, 1, 7], [0, 7, 1]] et R = X³ + X² − 14X − 24.

   • Q20 — trigonalisation sur C ; les relations de Q19 restent-elles valables ?
   • Q21 — les trois traces, et le polynôme caractéristique.
   • Q22 — les valeurs propres.
   • Q23 — une matrice de passage Q diagonalisant A.
   View solution

7. Exercise 7 — Partie D · I — Perturbation de rang 1 : solutions et spectre (Q24 à Q29)

   D = diag(a, b, c) avec a < b < c, U = (u, v, w) à coordonnées non nulles, T = UU^⊤ et D(t) = D + tT. L'équation (E_t) est

   u²/(λ−a) + v²/(λ−b) + w²/(λ−c) = 1/t.

   • Q24, Q25 — deux identités vérifiées par une valeur propre λ de D(t).
   • Q26 — λ est solution de (E_t).
   • Q27 — variations de F, et ses deux zéros ρ_1 < ρ_2.
   • Q28 — (E_t) admet trois solutions réelles distinctes.
   • Q29 — solutions de (E_t) et spectre de D(t) coïncident.
   View solution

8. Exercise 8 — Partie D · II — Les limites (Q30 à Q34)

   g_1, …, g_4 désignent les réciproques des restrictions de F aux quatre intervalles ]−∞, a[, ]a, b[, ]b, c[ et ]c, +∞[.

   • Q30 — existence des g_i, valeur de g_2(0), limites de g_2 en ±∞.
   • Q31 — les λ_i(t) en fonction des g_i.
   • Q32 — λ_1 se prolonge par continuité à R.
   • Q33 — dérivabilité et valeur de λ_1′(0).
   • Q34 — limites de λ_1 en ±∞, et ce que cela dit de la perturbation.
   View solution