Le théorème de Gauss et le lemme d'Euclide

Une divisibilité ne se « simplifie » pas comme une fraction. Le théorème de Gauss dit précisément dans quel cas on en a le droit.

L'énoncé

Théorème de Gauss. Si a divise b c et si a est premier avec b, alors a divise c.

La condition « premier avec b » est essentielle. Sans elle, l'énoncé est faux :

6 divise 4 × 3 = 12          mais 6 ne divise ni 4 ni 3
                             (et 6 n'est premier ni avec 4, ni avec 3)

La démonstration, en trois lignes

Elle illustre parfaitement l'utilité de Bézout.

a premier avec b   ->   il existe u, v tels que  a u + b v = 1

Multiplions par c :      a c u + b c v = c

- a divise a c u          (évident)
- a divise b c v          (car a divise bc par hypothèse)
- donc a divise leur somme, qui vaut c.                      ∎

C'est le mécanisme typique : Bézout convertit une hypothèse de divisibilité en égalité, que l'on manipule ensuite algébriquement.

Le lemme d'Euclide

Cas particulier où a = p est premier :

Si un nombre premier p divise un produit b c, alors p divise b ou p divise c.

En effet, si p ne divise pas b, alors p est premier avec b (les seuls diviseurs de p sont 1 et p), et Gauss conclut.

Ce lemme, en apparence anodin, est exactement ce qui manque pour démontrer l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. Le théorème fondamental de l'arithmétique en dépend entièrement.

Les conséquences utiles

1. Si a et b divisent n, et si a et b sont premiers entre eux,
   alors a b divise n.

   Exemple : n divisible par 3 ET par 5  ->  divisible par 15
             (mais divisible par 4 ET par 6 n'implique PAS divisible par 24)

2. Si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec b c.

3. Si a divise c, b divise c et a, b premiers entre eux -> PPCM(a,b) = a b

Le premier point est le critère de divisibilité par un produit — et son contre-exemple montre à quel point la condition est nécessaire : 12 est divisible par 4 et par 6, mais pas par 24, car 4 et 6 ne sont pas premiers entre eux.

Un exemple de raisonnement

Montrer que si n est un entier, alors n(n+1)(n+2) est divisible par 6.

Parmi trois entiers consécutifs :
   - au moins un est pair          ->  le produit est divisible par 2
   - exactement un est multiple de 3 -> le produit est divisible par 3

2 et 3 sont premiers entre eux  ->  le produit est divisible par 2 × 3 = 6

Sans le théorème de Gauss, la dernière ligne ne serait pas légitime.

En résumé

• Gauss : a | bc et a premier avec b ⟹ a | c.
• Sans l'hypothèse de primalité entre eux, c'est faux (6 | 4×3 mais 6 ∤ 4, 6 ∤ 3).
• La démonstration part de Bézout : au + bv = 1, puis on multiplie par c.
• Lemme d'Euclide : p premier et p | bc ⟹ p | b ou p | c.
• Ce lemme est ce qui fonde l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
• Si a et b premiers entre eux divisent n, alors ab divise n.