Le théorème fondamental de l'arithmétique

Le résultat qui justifie le mot « premier » : tout entier se construit à partir d'eux, et d'une seule manière.

L'énoncé

Théorème fondamental de l'arithmétique. Tout entier n ≥ 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près.

360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5

Deux affirmations distinctes s'y cachent, et la seconde est de loin la plus difficile :

EXISTENCE : tout entier se décompose      (facile, par récurrence)
UNICITÉ   : d'une seule façon             (difficile, repose sur le lemme d'Euclide)

Trouver la décomposition

On divise par les premiers successifs, en repartant du plus petit à chaque fois :

   360 | 2
   180 | 2
    90 | 2
    45 | 3
    15 | 3
     5 | 5
     1
                ->  360 = 2³ × 3² × 5

Ce que la décomposition permet de lire

Une fois décomposé, un entier livre toutes ses propriétés multiplicatives.

Le nombre de diviseurs s'obtient en ajoutant 1 à chaque exposant et en multipliant :

360 = 2³ × 3² × 5¹     ->    (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs

Chaque diviseur s'écrit 2^a × 3^b × 5^c avec a ∈ {0,1,2,3}, b ∈ {0,1,2}, c ∈ {0,1} : c'est le principe multiplicatif du dénombrement.

Le PGCD et le PPCM se lisent en comparant les exposants :

   360 = 2³ × 3² × 5
    84 = 2² × 3  × 7

PGCD : on garde le plus PETIT exposant commun   ->  2² × 3 = 12
PPCM : on garde le plus GRAND exposant          ->  2³ × 3² × 5 × 7 = 2520

Et l'on vérifie la relation générale PGCD × PPCM = a × b : 12 × 2520 = 30 240 = 360 × 84.

La divisibilité devient une comparaison d'exposants : a divise b si et seulement si chaque exposant de a est inférieur ou égal à celui de b.

La limite pratique

Décomposer est facile à décrire et très coûteux à faire. Personne ne sait factoriser rapidement un entier de 600 chiffres :

multiplier deux nombres premiers de 300 chiffres  ->  instantané
retrouver ces deux facteurs à partir du produit   ->  hors de portée

Cette asymétrie n'est pas un détail technique : c'est le fondement du chiffrement RSA, qui protège aujourd'hui l'essentiel des communications chiffrées. La sécurité repose entièrement sur le fait qu'aucun algorithme rapide de factorisation n'est connu — ce qui n'est pas démontré impossible.

En résumé

• Théorème fondamental : tout entier ≥ 2 se décompose en produit de premiers, de façon unique.
• L'unicité est la partie difficile, et c'est elle qui impose d'exclure 1.
• Nombre de diviseurs : on ajoute 1 à chaque exposant et on multiplie.
• PGCD : plus petits exposants ; PPCM : plus grands exposants.
• PGCD × PPCM = a × b.
• Décomposer est facile à énoncer, très coûteux à calculer — c'est le socle de RSA.