Rédaction rigoureuse et pièges classiques

Les erreurs classiques à éviter

Erreur numéro 1 : oublier l'initialisation

L'erreur la plus fréquente est de ne démontrer que l'hérédité, en pensant que cela suffit. Or une hérédité parfaitement correcte, sans initialisation vérifiée, ne prouve rien.

Exemple d'heredite sans initialisation (piege classique) :

Soit P(n) : "n = n + 1" (propriete evidemment fausse pour tout n)

Heredite : si on suppose P(k) vraie, c'est-a-dire k = k+1,
           alors en ajoutant 1 aux deux membres : k+1 = k+2,
           ce qui est exactement P(k+1).

(l'heredite est "demontree" alors que P(n) est fausse pour tout n : sans initialisation, l'heredite seule ne vaut rien)

Aucun domino ne tombe si personne ne pousse le premier : sans un rang de départ vérifié explicitement, la chaîne d'implications ne démarre jamais.

Erreur numéro 2 : une hérédité qui ne s'appuie pas sur l'hypothèse

Si la démonstration de P(k+1) ne fait jamais intervenir l'hypothèse P(k), c'est souvent le signe qu'on a redémontré P(k+1) directement (ce qui n'est pas un raisonnement par récurrence) ou qu'il y a une erreur de logique cachée.

Erreur numéro 3 : mauvais rang de départ

Si la propriété n'est vraie qu'à partir d'un rang n0 différent de 0 (par exemple n0 = 3), il faut initialiser précisément à ce rang n0, et non à 0 ou 1. Vérifier P(0) alors que P(0) est fausse (mais P(3) est vraie) invaliderait complètement la démonstration.

Erreur numéro 4 : confondre "supposer P(k)" et "démontrer P(k) pour tout k"

L'hypothèse de récurrence porte sur UN rang k fixé et quelconque, pas sur tous les rangs à la fois. On ne suppose jamais que la propriété est vraie partout dès le départ : ce serait supposer exactement ce qu'on cherche à démontrer, une erreur logique connue sous le nom de raisonnement circulaire.

Piège classique (récapitulatif)