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Centrale-Supélec 2026 — Mathématiques 1 (TSI)

Sujet officiel de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec 2026, filière TSI. Le document est consulté depuis le site du concours.

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Source: Concours Centrale-Supélec

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Exercise 1 — Partie A · I — Distance à un sous-espace (Q1 à Q3)
F = Vect(e_1, e_2, e_3) dans M_{4,1}(R) muni du produit scalaire canonique.
- Q1 — la famille est une base orthogonale ; en donner une orthonormée.
- Q2 — le projeté orthogonal d'un vecteur quelconque sur F.
- Q3 — la distance de v = (1, 1, 1, 1) à F.
Exercise 2 — Partie A · II — Séries de Fourier (Q4 à Q12)
- Q4 — les coefficients de Fourier de x ↦ cos(αx), prolongée par 2π-périodicité, pour α ∉ Z.
- Q5, Q6 — deux sommes de séries, puis le développement de la cotangente.
- Q7 à Q10 — coefficients complexes, et résolution de f″ + e^{ix}f = 0.
- Q11, Q12 — orthogonalité de la famille trigonométrique, et la projection comme meilleure approximation.
Exercise 3 — Partie B — Limites de suites de matrices (Q13 à Q16)
- Q13 — deux exemples de suites (A^k) divergentes.
- Q14 — pour A diagonalisable, la convergence équivaut à une condition sur le spectre.
- Q15 — un cas convergent.
- Q16 — deux matrices semblables, et la convergence de (A^k).
Exercise 4 — Partie C — Interpolation polynomiale et moindres carrés (Q17 à Q23)
L_i désigne le i-ième polynôme de Lagrange associé aux points x_0, …, x_n.
- Q17 à Q20 — propriété caractéristique des L_i, produit scalaire par évaluation, base orthonormée, et la décomposition d'un polynôme.
- Q21 — la meilleure approximation aux moindres carrés par un polynôme de degré ⩽ m.
- Q22, Q23 — l'erreur d'interpolation, via Rolle.
Exercise 5 — Partie D · I — Régression linéaire en dimension 2 (Q24 à Q26)
- Q24 — la fonction E admet un minimum, qui s'interprète comme une distance.
- Q25 — le déterminant de A^⊤A est strictement positif.
- Q26 — le gradient de E, les équations normales, et l'unicité du couple optimal.
Exercise 6 — Partie D · II — Les moindres carrés en dimension quelconque (Q27 à Q33)
- Q27, Q28 — Ker(A^⊤A) = Ker(A), et l'égalité des rangs.
- Q29, Q30 — décomposition de y et caractérisation des minimiseurs.
- Q31, Q32 — les équations normales A^⊤Ax_0 = A^⊤y.
- Q33 — le cas où A est de rang maximal.
Exercise 7 — Partie D · III — La décomposition en valeurs singulières (Q34 à Q43)
- Q34, Q35 — positivité des formes quadratiques associées, et du spectre de A^⊤A.
- Q36 à Q38 — construction de la décomposition A = UDV^⊤.
- Q39, Q40 — AÃ est un projecteur orthogonal, et b = Ãy est un minimiseur.
- Q41 à Q43 — b est le minimiseur de norme minimale.
Exercise 8 — Partie E — La méthode du gradient (Q44 à Q52)
On suppose ici toutes les valeurs propres de A^⊤A strictement positives.
- Q44, Q45 — A^⊤A est inversible, et définit un produit scalaire.
- Q46 à Q48 — l'inégalité de Kantorovich, via une majoration élémentaire.
- Q49 à Q52 — la descente de gradient à pas optimal converge, avec une vitesse gouvernée par le conditionnement.

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Exercise 1 — Partie A · I — Distance à un sous-espace (Q1 à Q3)

Exercise 2 — Partie A · II — Séries de Fourier (Q4 à Q12)

Exercise 3 — Partie B — Limites de suites de matrices (Q13 à Q16)

Exercise 4 — Partie C — Interpolation polynomiale et moindres carrés (Q17 à Q23)

Exercise 5 — Partie D · I — Régression linéaire en dimension 2 (Q24 à Q26)

Exercise 6 — Partie D · II — Les moindres carrés en dimension quelconque (Q27 à Q33)

Exercise 7 — Partie D · III — La décomposition en valeurs singulières (Q34 à Q43)

Exercise 8 — Partie E — La méthode du gradient (Q44 à Q52)