Centrale-Supélec 2026 — Mathématiques 1 (MP, MPI)

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1. Exercise 1 — Partie A · I — Généralités (Q1 à Q3)

   G désigne un sous-groupe de GL_n(R). Un groupe est dit d'exposant fini lorsqu'un même entier m vérifie x^m = e pour tout élément, et on note tr G l'ensemble des traces de ses éléments.

   • Q1 — un sous-groupe fini est d'exposant fini et sa trace est finie.
   • Q2 — un contre-exemple : un sous-groupe infini de trace finie.
   • Q3 — un groupe infini d'exposant fini, matriciel ou non.
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2. Exercise 2 — Partie A · II — Les sous-groupes finis de O₂(R) (Q4 à Q8)

   On note R_θ la rotation d'angle θ et S_θ la réflexion associée, avec les relations rappelées par le sujet.

   • Q4 — toute matrice de SO₂(R) s'écrit R_θ pour un unique θ de [0, 2π[.
   • Q5 — étude du groupe engendré par une seule rotation : forme des éléments, cardinal pour θ = 2π/m, finitude équivalente à θ/π rationnel, et les deux réciproques (exposant fini, trace finie).
   • Q6 — le groupe engendré par deux rotations, puis le cas ⟨R_{π/p}, R_{π/q}⟩.
   • Q7 — tout sous-groupe fini de SO₂(R) est monogène.
   • Q8 — le groupe diédral D_m : son cardinal, et le fait que tout sous-groupe fini de O₂(R) non inclus dans SO₂(R) lui est isomorphe.
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3. Exercise 3 — Partie A · III — Caractérisation des sous-groupes finis de Oₙ(R) (Q9 à Q14)

   G est ici un sous-groupe de O_n(R), et l'on veut établir les équivalences

   G fini ⟺ G d'exposant fini ⟺ tr G fini.

   • Q9 — rappeler le théorème de réduction des matrices orthogonales.
   • Q10 — exposant fini entraîne trace finie.
   • Q11 à Q14 — la réciproque, en considérant le sous-espace F engendré par G dans M_n(R), une base extraite de G, la matrice de Gram associée et les coordonnées d'un élément de G dans cette base.
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4. Exercise 4 — Partie B · I — Quelques propriétés utiles (Q15 à Q21)

   A et B désignent des matrices symétriques, A définie positive. On pose ⟨X, Y⟩_A = (AX|Y) et l'on note B ≼ A lorsque (BX|X) ⩽ (AX|X) pour tout X.

   • Q15 — ⟨.,.⟩_A est un produit scalaire ; une boule euclidienne est-elle une boule pour une telle norme ?
   • Q16 — X ↦ A^{-1}BX est autoadjoint pour ce produit scalaire.
   • Q17 à Q21 — caractérisations de ≼ : par la positivité de A − B, par le spectre de A^{-1}B, par les déterminants, par l'inclusion des boules, et enfin le lien entre partie bornée de S_n^+(R) et majoration par αI_n.
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5. Exercise 5 — Partie B · II — Stricte log-concavité du déterminant (Q22, Q23)

   • Q22 — S_n^{++}(R) est une partie convexe de M_n(R).
   • Q23 — A ↦ ln(det A) y est strictement concave, au sens défini par le sujet (égalité seulement si A = B, t = 0 ou t = 1).
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6. Exercise 6 — Partie B · III — Groupe orthogonal d'une matrice définie positive (Q24, Q25)

   À A ∈ S_n^{++}(R) on associe O(A) = {M ∈ M_n(R) ; M^T A M = A}.

   • Q24 — O(A) est un sous-groupe de GL_n(R), isomorphe à O_n(R).
   • Q25 — O(A) est une partie compacte de M_n(R).
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7. Exercise 7 — Partie B · IV — Les sous-groupes compacts de GLₙ(R) (Q26 à Q29)

   G désigne un sous-groupe compact de GL_n(R). Le but est de montrer qu'il est isomorphe à un sous-groupe de O_n(R).

   • Q26 — tout élément de G a un déterminant de valeur absolue 1.
   • Q27 — l'ensemble C = {MX ; M ∈ G, X ∈ B} est compact et 0 lui est intérieur.
   • Q28 — il existe une unique matrice A définie positive de déterminant maximal telle que C ⊂ B_A.
   • Q29 — G est alors un sous-groupe de O(A).
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8. Exercise 8 — Partie C · I — Croissance d'un groupe (Q30 à Q32)

   G est un groupe engendré par une partie finie S, et ℓ_S(g) désigne la longueur minimale d'une écriture de g en générateurs. V_S(p) est la boule de rayon p pour cette longueur.

   • Q30 — ℓ_S(g^{-1}) = ℓ_S(g) et ℓ_S(gh) ⩽ ℓ_S(g) + ℓ_S(h).
   • Q31 — deux parties génératrices finies donnent des longueurs comparables : le degré de croissance polynomiale ne dépend pas du système choisi.
   • Q32 — dénombrement des triplets d'entiers naturels de somme majorée, et degré de croissance de (Z³, +).
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9. Exercise 9 — Partie C · II — Le groupe de Heisenberg discret (Q33 à Q41)

   n = 3. S, T, U sont les trois matrices unipotentes de l'énoncé, A la partie qu'elles forment, et H le sous-groupe de GL₃(R) qu'elles engendrent.

   • Q33 à Q37 — forme générale de S^i T^j U^k, loi de composition, centralité de U, non-commutativité de H, et la bijection Z³ → H.
   • Q38 à Q40 — majoration et minoration du cardinal de V_A(p), avec le dénombrement associé.
   • Q41 — conclusion : H est à croissance polynomiale de degré 4.
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